Вы на НеОфициальном сайте факультета ЭиП

На нашем портале ежедневно выкладываются материалы способные помочь студентам. Курсовые, шпаргалки, ответы и еще куча всего что может понадобиться в учебе!
Главная Контакты Карта сайта
 
Где мы?

Реклама


СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Просмотров: 13304 Автор: Angel
4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

4.1. Понятие абсолютной и относительной величины в статистике

 Результаты статистического наблюдения регистрируются, прежде всего, в форме первичных абсолютных величин. Так основная масса народно-хозяйственных абсолют-ных показателей фиксируется в первичных учетных документах. Абсолютная величина отражает уровень развития явления.
 С точки зрения конкретного исследования совокупность абсолютных величин можно рассматривать как состоящую из показателей индивидуальных, характеризующих размер признака у отдельных единиц совокупности, и суммарных, характеризующих ито-говое значение признака по определенной части совокупности. Так, если индивидуальными будут показатели численности работающих на отдельных предприятиях, то суммарными – численности работающих по группам, объединениям предприятий. С точки зрения отдельного предприятия численность занятых на нем будет суммарной величиной, а численность рабочих в каждом цехе – величинами индивидуальными.
 Следует разграничивать моментные и интервальные абсолютные величины. Первые показывают фактическое наличие или уровень явления на определенный момент, дату (например, наличие запасов материалов или оборотных средств, величина незавер-шенного производства, численность проживающих и т.д.). Вторые – итоговый накоплен-ный результат за период в целом (объем произведенной продукции за месяц или год, при-рост населения за определенный период величина валового сбора зерна за год и за пяти-летку и т.п.). В отличие от моментных интервальные абсолютные величины допускают их последующее суммирование (естественно, если речь идет об одном и том же показателе).
 Сама по себе абсолютная величина не дает полного представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени. В ней не выявлены соотношения с другими абсолютными показателями. Эти функции выполняют определяемые на основе абсолютных величин относительные показатели.
 Относительная величина в статистике – это обобщающий показатель, который дает числовую меру соотношения двух сопоставимых абсолютных величин. Так как мно-гие абсолютные величины взаимосвязаны то относительные величины одного типа в ряде случаев могут определяться через относительные величины другого типа.
 Основное условие правильного расчета относительной величины – сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями. Таким образом, по способу получения относительные показатели – всегда величины производные, определяемые в форме коэффициентов, процентов, ? и т.п.

4.2. Виды и взаимосвязи относительных величин

 По содержанию выражаемых количественных соотношений выделяют следующие типы относительных величин.
 1. Относительная величина динамики (ОВД). Характеризует изменение уровня раз-вития какого-либо явления во времени. Получается в результате деления уровня признака в определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предшествующий период или момент.
 Так по данным топливо - энергетического баланса СССР, ресурсы 1980 г. оценива-лись в 2171,1 млн. т. у.т. (условного топлива), а в 1987 г. – в 2629,1 млн. т у.т. Относи-тельная величина динамики составила
i = 2629,1 : 2171,1 = 1,211.
 Таким образом, объем ТЭ ресурсов вырос за 7 лет в 1,211 раз (коэффициент роста, индекс роста, индекс). В процентном выражении это 121,1% (темп роста).
 Иначе говоря, за 7 лет объем ресурсов увеличился на 21,1 % (темп прироста). В среднем каждый год объем ресурсов возрастал по сравнению с предыдущим годом в
  раза
 или на 2,77% (среднегодовой коэффициент или индекс роста и среднегодовой темп при-роста).

 2. Относительная величина планового задания (ОВПЗ). Рассчитывается как отно-шение уровня, запланированного на настоящий период, к уровню, практически сложив-шемуся в предшествующем периоде.
 ОВПЗ также может быть представлен в трех формах коэффициента (индек-са)планового роста, плановых темпов роста либо прироста (в %).
 Так по плану на 1988 г. предполагалось увеличить производство стиральных ма-шин на 12,5 % (плановый темп прироста), т.е. в 1,125 раза (плановый коэффициент роста), или виток на 112,5% по сравнению с 1987 г. (плановый темп роста).

3. Относительная величина выполнения задания (ОВВЗ). Рассчитывается как отно-шение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному. Так, в 1988 г. было произведено стиральных машин 6103 тыс. шт. при плане (госзаказе) 6481 тыс. шт. Относительная величина выполненного плана составила
iвып.пл. =6103 : 6481 = 0,942, или 94,2%.

 Следовательно, плановое задание было недовыполнено на 5,8%. Относительные величины динамики, планового задания и выполнения плана связаны соотношением
 .

4. Относительные величины структуры. Характеризуют доли, удельные веса со-ставных элементов в общем итоге. Как правило, их получают в форме %-го содержания
 ,
или .
Таблица 4.2
Распределение ТЭР СССР
Направление использование 1980 1987
 млн. т у.т. % млн. т у.т. %
1. Преобразование в другие виды энергии 788,9 36,34 979,8 37,27
2. Произв. технол. и прочие нужды 884,4 40,73 989,0 37,62
3. Экспорт 327,8 15,10 418,3 15,91
4. Остаток на конец года. 170,0 7,83 242,0 9,20
Итого: 2171,1 100,0 2629,1 100,0

 Данные табл. 4.2 показывают увеличение доли ресурсов, потребляемых внутри страны для преобразования в другие виды энергии (электрическую, тепловую, сжатый воздух и т.д.), снижение доли ресурсов, идущих на производственные нужды, некоторый рост доли экспорта и запасов на конец года.
 Изменение во времени относительных величин структуры может быть отражено в показателях динамики
 ,
где – доля части совокупности в данном отчетном периоде;
  – доля этой же части в предшествующем (базисном) периоде.
 Показатели динамики относительных величин структуры i связаны с показателя-ми динамики соответствующих абсолютных величин соотношением
  или ,
где – относительная величина динамики доли (индекс доли) данной части совокупно-сти;
i – относительная величина динамики (индекс динамики) абсолютного размера данной части;
I – относительная величина динамики (индекс динамики) общего итога абсолютной вели-чины.
 Действительно,
 .
 Относительные величины структуры и динамики используются для анализа абсо-лютного прироста отдельных частей совокупности.
 Общее изменение отдельной структурной части складывается из прироста, объяс-няемого общим увеличением или уменьшением всей совокупности, и прироста, обуслов-ленного изменением удельного веса данной части
 Формулы распределения прироста выглядят таким образом:
 а) предмет данной части совокупности, объясняемый общей динамикой итога,
 ;
 б) прирост, объясняемый изменением удельного веса данной части. Можно приме-нить любую из формул:

Здесь – абсолютные величины рассматриваемой части совокупности в базисном и отчетном периодах соответственно; – абсолютная величина совокупности в отчет-ном периоде.
Таблица 4.3
Анализ распределения ТЭР за 1980-1987 г.г., млн. т у.т.
Направление использования Всего Прирост
 1980 1987 Всего В том числе за счет
  Общего роста ТЭР Изменения структуры рас-ходуемой части ТЭБ
1. Преобразование в другие виды энергии 788,9 979,8 190,9 166,4 +24,5
2. Произв. технол. и прочие нуж-ды 884,4 989,0 104,6 186,5 –81,9
3. Экспорт 327,8 418,3 90,5 69,2 +21,3
4. Остаток на конец года 170,0 242,1 72,0 35,9 +36,1
Итого 2171,1 2629,1 458,0 458,0 0,0
 В табл. 4.3 приведем итого анализа распределенной части ТЭБ СССР за 1980-1987 г.г. Индекс динамики общего объема распределенных ТЭР составил 1,211; объем ресур-сов, направляемых на преобразование, вырос, в частности, в 1,242 раза.
 При общем абсолютном возрастании этой части на 190,9 млн. т у.т. увеличение за счет общего роста ТЭР составило только
 млн. т у.т.
 Остальной прирост объясняется изменением удельного веса данной части
 (1,242 – 1,211) = 24,5 млн. т у.т.
или
 (0,3727 – 0,3634) = 24,5 млн. т у.т.
 Из соотношений относительных величин структуры и динамики следует важный практический вывод: если индекс динамики отдельной части совокупности превышает индекс динамики общего итога, то доля этой части увеличится, и наоборот.
 
5. Относительные величины координации (ОВК). Характеризуют отношение час-тей данной совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. ОВК показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой, либо сколько единиц одной части приходящаяся на 1, 10, 100, 1000, … единиц другой части. Относительные величины ко-ординации могут рассчитываться и по абсолютным показателям, и по показателям струк-туры.
 Так, приняв за базу сравнения поставки топливных ресурсов на экспорт в 1987 г. увидим, что на каждую условную тонну экспортных поставок приходится в 2,342 раза больше ресурсов, потребленных внутри страны для производства энергии, и в 2, 363 раза больше ресурсов, предназначенных для производственно-технологических целей. Уровень оставить на конец года достигнет 57,8% по сравнению с годовыми поставками на экспорт (9,10 : 15,91 = 242 : 418,3 = 0,578).
 По относительным величинам координации можно восстановить исходные относительные показатели структуры, если вычислить отношение относительной величины координации данной части (ОВКi) к сумме всех ОВК (включая и ту, которая принята за базу сравнения)
 .
 Например, доля экспортных поставок составляет
1 : (2,342 + 2,363 + 1 + 0,578) = 0,1591, или 15,9 %

6. Относительные величины сравнения (ОВС). Характеризуют сравнительные раз-меры одноименных абсолютных величин, относящихся к одному и тому же периоду либо моменту времени, но к различным объектам или территориям. Посредством этих показа-телей сопоставляются мощности различных видов оборудования, производительность труда отдельных рабочих, производство продукции данного вида разными предприятия-ми, районами, странами. Например, по производству нефти и газа в 1985 г. СССР превос-ходил США: по нефти – в 1,36 раза, по газу – в 1,24 раза. 
 Уровень производства э/э (млрд. кВт•ч) в СССР составлял от уровня США 1544 : 2650 = 0,583, или 58,3%.
 При известных коэффициентах роста (индексах динамики) и начальном соотноше-нии уровней можно найти условие равенства уровней в предстоящем периоде t
 .
 
Отсюда ,
т.е. .
 Найденное значение t показывает, через какой период времени уровень изучаемого явления на объекте А сравняется с уровнем того же явления на объекте Б.
 В частности, при среднегодовых темпах прироста производства э/э в США 4,5% и в СССР 6,9% (по данным за 1961–1985 гг.)
  года.
 Сопоставляя показатели динамики разных явлений, получают еще один вид отно-сительных величин сравнения – коэффициенты опережения (отставания) по темпам роста или прироста. Так, если производительность труда на предприятии возросла на 12%, а фонд оплаты труда увеличился на 7,5%, то коэффициент опережения производительности труда по темпам роста составит 112 : 107,5 = 1,042; коэффициент опережения по темпам прироста равен 12 : 7,5 = 1,60.

7. Относительные величины интенсивности. Характеризуют степень распреде-ления или развития данного явления в той или иной среде. Представляют собой отноше-ние абсолютного уровня одного показателя, свойственного изучаемой среде, к другому абсолютному показателю, также присущему данной среде и, как правило, являющемуся для первого показателя факторным признаком. Так, при изучении демографических про-цессов рассчитываются показатели рождаемости, смертности, естественного прироста и т.д., как отношение числа родившихся (умерших) или величины прироста населения за год к среднегодовой численности населения данной территории в расчете на 1000 чел. Если получаемые значения очень малы, то данный расчет на 10000 чел. Так, по состоянию на 1987 год имеем в целом по строке = 15,2%, kест. прироста = 9,9%.
 Относительными величинами интенсивности выступают, например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, трудо-емкости, эффективности использования производственных фондов и т.д., поскольку их получают сопоставлением разноименных величин, относящихся к одному и тому же явле-нию и одинаковому периоду или моменту времени. Метод расчета относительных вели-чин интенсивности применяется при определении средних уровней (среднего уровня вы-работки, средних затрат труда, средней себестоимости изделий, средней цены и т.д.). По-этому распространено мнение, что относительные величины интенсивности – это один из способов выражения средних величин.

4.3. Средние величины. Общие принципы их применения

 Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он отражает величину признания, отнесенную к единице совокупности.
 Средняя всегда обобщает количественную вариацию признания, т.е. в средних ве-личинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами.
 Средние величины делятся на два больших класса:
 - степенные средние;
 - структурные средние.
 К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
 В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.
 Степенные средние. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид
 ,
где – варианты (значение) осредняемого прироста; – показатель степени средний; – число вариантов.
 Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид
 ;
где – варианты определяемого признака или серединное значение интервала, в кото-ром измеряется варианта; – частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значе-ние осредняемого признака.

Пример. Расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек.

Возраст (лет)  
Возраст (лет)  
Возраст (лет)  
Возраст (лет)
1 18 6 20 11 22 16 21
2 18 7 19 12 19 17 19
3 19 8 19 13 19 18 19
4 20 9 19 14 20 19 19
5 19 10 20 15 20 20 19

 Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней
  года.
 Суммируем исходные данные. Получим следующий рост распределения.

Возраст, лет 18 19 20 21 22 Всего
Число сту-дентов 2 11 5 1 1 20

 В результате группировки получаем новый показатель – частоту, указывающую число студентов в возрасте лет. Следовательно, средний возраст студентов группы бу-дет рассчитываться по формуле взвешенной средней
 .
 Общие формулы расчета степенных средних имеют показатели степени m. В зави-симости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:
– средней гармонической, если m = 1;
– средней геометрической, если m = 0;
– средней арифметической, если m = 1;
– средней кубической, если m = 3;
– средней квадратической, если m = 2.
Формулы степенных средних приведены в табл. 4.4.
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значе-ния их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с уве-личением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина
 .
В статистической практике чаще всего, чем остальные виды средних взвешенных, используются среднее арифметическое и среднее гармоническое взвешенные
Рассмотрим на примере порядок расчета и выбор формы средней величины.

  Таблица 4.4
  Виды степенных средних
Вид степенной средней Показатели степени Формула расчета
  Простая Взвешенная
Гармоническая –1  

Геометрическая 0  
 
Арифметическая 1  
 
Квадратическая 2  
 
Кубическая 3  
 
На основании следующих данных по двум по двум сельскохозяйственным пред-приятиям необходимо определить, в каком из них и насколько выше средняя урожайность зерновых культур.

Культура Предприятие 1 Предприятие 2
 Валовый сбор, ц Урожайность ц/га Посевная пло-щадь, га Урожайность, ц/га
Пшеница озимая 32500 25 1540 20
Рожь 1620 18 120 19
Ячмень 13640 22 460 18
Просо 1650 15 80 13
Итого 49410 – 2200 –

Показатель урожайности является вторичным признаком, так как он задан на еди-ницу первичного признака (посевной площади, выраженной абсолютной величиной) и может быть представлен как отношение двух первичных признаков, а именно валового сбора и посевной площади:
 ,
где У – урожайность; ВС – валовый сбор; ПП – посевная площадь.
 Следовательно, для расчета средней урожайности по каждому предприятию необ-ходимо изменить среднюю взвешенную. В.Е. Овсиенко (См. Овсиенко В. Выбор формы средней и о некоторых ошибках, допускаемых в этом вопросе //Вестник статистики. – 1989. – №2.) формализовал порядок выбора формы средней качественного признака на основе следующих правил.
 1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логичной формулы, а значения числителя неизвестны, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.
 2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, то могут быть найдены как ча-стное от деления одного показателя на другой, то средняя вычислится по формуле средней гармонической.
 3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и зна-менателя логической формулы показателя, средняя вычисляется ? по этой формуле.
 Согласно данным рассматриваемого примера, для сельскохозяйственного предпри-ятия №1 средняя урожайность должна определяться по правилу 2, так как известно чис-ленное значение числителя в логической формуле средней величины, а именно показатель валового сбора. Исходя из этой эе логической формулы значение знаменателя (посевную площадь) можно определить так
 .
 Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предпритяию №1.
 ,
где в качестве веса выступает валовой сбор.
 Данную формулу расчета имеет средняя гармоническая взвешенная
 ц/га.
 Для сельскохозяйственного предприятия №2 средняя урожайность определяется по правилу 1. В условиях задачи присутствует численное значение знаменателя – это показа-тель посевной площади. Исходя из логической формулы средней величины числитель (валовой сбор) можно определить так
 .
 Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию №2
 ,
где в качестве веса выступает посевная площадь.
 Данную формулу расчета имеет средняя арифметическая взвешенная
  ц/га.
 Следовательно, средняя урожайность зерновых культур на предприятии 1 по срав-нению с предприятием 2 была выше на 4,04 ц/га (или на 21%).
 Простые средние. Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используется не единицы совокупности – носители признака, а произве-дения этих единиц на значения признака (т.е. ). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (и нескольким) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той детали, изделия.
 Пример. Расчета средней гармонической простой.
 Три промышленных предприятия заняты производством миксеров. Себестоимость производства миксеров на 1 предприятии – 5 тыс. руб., на 2-м – 3 тыс. руб, на 3-м – 6 тыс. руб.
 Необходимо определить среднюю себестоимость миксера при условии, что на каж-дом предприятии общие затраты на его предприятие составляет 6 тыс. руб.
 Попытка решить задачу с помощью средней арифметической простой 

 руб.
оказалась бы успешной, если бы каждое предприятие выпускало по одному миксеру (рав-ному количеству), но это не так, а потому
 .
Рассчитаем количество миксеров, произведенных каждым предприятием
1). шт.; 2). шт.; 3). шт.
 Вычисляя среднюю себестоимость по формуле средней гармонической взвешенной
  тыс. руб.
Таким образом, в среднем на приготовление одного миксера было израсходовано 4,28 тыс. руб.
 В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих на производство мик-серов, который представляет собой произведение себестоимости на количество единиц совокупности.
 Таким образом, общие затраты на всех предприятиях одинаковы, то к аналогично-му результату приводит и расчет по средней гармонической простой
  руб.
Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, что-бы все этапы имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения; признаки у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого по-казателя его средней величиной оставался без применения некоторой итоговой сводной показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными зна-чениями определяет поперечную форму расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.
Формула средней геометрической  
используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относитель-ным величинам динамики.
Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных от-носительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года . Очевидно, что объем произ-водства в последнем году определяется начальным его уровнем и последующим на-ращиванием по годам
 .
Приняв в качестве определяемого показателя и заменяя ? ? показателей дина-мики средними, приходим к соотношению
 ; .
Отсюда .
Интересно, что к расчету показателя средних темпов роста можно подойти и по иному. Примем в качестве определяющего показателя общий объем производства за 12 лет
 .
Тогда .
Заменяем индивидуальные значения средним
 .
Таким образом, если известно, во сколько раз суммарный объем производства за n лет должен превысить уровень базисного года, то для определения среднего коэффициен-та роста надо решить уравнение степени n.
Найденное среднее значение коэффициента роста дает ответ на вопрос, какими темпами должен ежегодно возрастать показатель, чтобы в итоге получился суммарный объем .
Приведем таблицу решений уравнения при n = 3 и n = 5 для в интервале от 3 до 10.
n  

 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1 1,151 1,278 1,389 1,489 1,578 1,661 1,734
5 0,834 0,927 1 1,061 1,114 1,161 1,203 1,241

Например, чтобы среднегодовой объем производства в предстоящие 5 лет был больше объема базисного года на 20% (в итоге за 5 лет будет произведено в 6 раз больше продукции, чем в предшествующем году), следует ежегодно увеличивать объем производ-ства на 6,1ч6,2%. По сравнении. С базисным ежегодное производство должно будет со-ставлять 106,1%; 112,6%; 119,6%; 127,0; 134,7%.

4.4. Расчет средней через показатели структуры

 Среднее арифметическое и среднее геометрическое могут быть как простыми, так и взвешенными. Веса в формулах средних показывают повторяемость данного значения признака. Поэтому абсолютные данные о повторяемости можно заменить относительны-ми величинами структуры. Так, для расчета среднего коэффициента выполнения плана можно применить формулу
 ,
где – доля, удельный вес данного предприятия в общем объеме выпуска продукции по плану.
 При использовании формулы средней гармонической вычисление можно выпол-нить с учетом доли каждого предприятия в общем фактическом объеме производственной продукции :
 .
 Приведем краткий перечень формул расчета средних значений наиболее употреб-ляемых экономических показателей через относительные величины структуры.
 1. Средняя трудоемкость изготовления изучения одного и того же вида нескольки-ми рабочими :
  или ,
где – трудоемкость изготовления единицы продукции конкретным рабочим; – до-ля рабочего в общем объеме произведенной продукции; – доля рабочего в общих за-тратах рабочего времени.
 Например, 4 рабочих изготавливают одинаковую продукцию, но с различными, индивидуальными затратами: t1 = 0,5 ч/шт., t2 = 0,6ч/шт., t3 = 1,2 ч/шт. и t4 = 1 ч/шт. Если каждый их них отработал равно по 6 часов, то и доля их в общих трудозатратах будет одинакова: = = = = 0,25. Средняя трудоемкость изготовления изделия составит

  ч/шт.
 Заметим, что расчет средней трудоемкости по формуле средней арифметической простой: ч/шт. – дает заведомо неверный результат. Такое решение справедливо лишь в том случае, если бы каждый рабочий изготовил по одному изделию (или равному числу изделий). Тогда и доля первого рабочего в общих трудоза-тратах была бы равна 0,5 : 3,3 = 0,152, второго – 0,6 : 3,3 = 0,182 и т.д.
 Еще проще определяется средняя трудоемкость, когда известны общие трудозатра-ты и общее количество выработанной продукции. В нашем примере Т = 6 • 4 = 24 ч, а об-щее количество произведенной продукции составляет 33 шт., следовательно,
  ч/шт.
 2. Средний уровень выработки продукции в единицу рабочего времени . Рассчитывается он по формулам
  или ,
где – уровень выработки для отдельного объекта (предприятия, цеха, участка, рабоче-го); – для данного объекта (предприятия, цеха, участка, рабочего) в общих по всей со-вокупности затратах рабочего времени; – для объекта I в общем выпуске продукции.
 3. Средний уровень оплаты труда (f)
  или ,
где fi – уровень оплаты на объекте i; – доля объекта i в общих трудозатратах; – до-ля объекта I в общем суммарном фонде оплаты труда.
 4. Средний уровень фондоотдачи  
  или ,
где Hi – уровень фондоотдачи (стоимость произведенной продукции (в руб.) на 1 руб. ос-новных производственных фондов) по объекту (отрасли, предприятию) i; – доля объекта i в общей стоимости фондов по всей изучаемой совокупности; – доля объекта i в общем выпуске продукции.
 5. Средний уровень затрат на производство единицы продукции одного и того же вида (себестоимость) на нескольких предприятиях  
  или ,
где – затраты на производство единицы продукции по отдельному предприятию; – для предприятия в общем объеме произведенной продукции; – доля предприятия в общих затратах на производство.
 Аналогичным образом через относительные величины структуры находятся и дру-гие средние величины экономических показателей (средняя фондоемкость, средний уро-вень затрат на 1 руб. продукции, средняя оборачиваемость запасов или незавершенного производства и т.д.).

4.5. Расчет средних по результатам группировки

 Очень часто исходные данные для анализа бывают в сгруппированном виде, когда для каждого значения осредняемого признака X сообщается частота его повторения. Если средние значения признака в группах определить по имеющимся сведениям нельзя, то их заменяют серединами интервалов, получал в итоге некоторое, чаще всего вполне удовле-творительное, приближение к среднему значению.
 Таким образом, расчет средней арифметической делают по формуле
 , где .
 Пример. Рассмотрим следующие данные

Группы предпри-ятий Себестоимость одного изделия, тыс. руб. Число предприятий Объем продукции, % Затраты производ-ства, %
1 110–115 8 9 8,2
2 115–120 16 18 17,2
3 120–125 24 24 23,9
4 125 и выше 52 49 50,7
Итого – 100 100 100

 Середина интервалов в примере 112, 5; 117,5; 127, 5. В качестве взвешивающего показателя следует выбрать показатель объема продукции, так как умножение себестои-мости одного изделия на объем продукции дает реальную экономическую величину – общую сумму затрат. Тогда средняя себестоимость изделия будет равна
 тыс. руб.
 Частоты повторения признака могут потребовать и применение формулы средней гармонической. Так, показатель «Затраты на производство» в форме относительных вели-чин позволяет также определить среднюю себестоимость изделия
  тыс. руб.

4.6. Структурные средние

 В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наи-более часто повторяющиеся значения признака – и медианы – величины признака, кото-рая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.
 Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по числен-ности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. C помощью интерпо-ляции в этом медианном интервале находим значение медианы
 ,
где – нижняя граница медианного интервала; – его величина; – поло-вина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении); – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака)накопленная до начала медианного интервала; – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).
 В нашем примере могут быть получены даже три медианных значения – исходя из признаков количества предприятий, объема продукции и общей суммы затрат на произ-водство
  тыс. руб.;

  тыс. руб.;
  тыс. руб.

 Таким образом, у половины предприятий уровень себестоимости единицы продук-ции превышает 125,19 тыс. руб, половина всего объема продукции производится с уров-нем затрат на изделие больше 124,79 тыс. руб. и 50% общей суммы затрат, образующихся при уровне себестоимости одного изделия выше 125,07 тыс. руб.
 При расчете медианного значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зави-сит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как 
 ,
где – нижнее значение модального интервала; – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном или относительном вы-ражении); – то же для интервала предшествующего модальному; – то же для интервала, следующего за модальным; h – величина интервала изменения признака в группах.
 Для нашего примера можно рассчитать три модальных значения, исходя из призна-ков числа предприятий, объема продукции и суммы затрат. Во всех трех случаях модаль-ный интервал один и тот же, так как для одного и того же интервала оказываются наи-большими и число предприятий и объем продукции, и общая сумма затрат на производ-ство:
 тыс. руб.
 тыс. руб.
 тыс. руб.

 Таким образом, чаще всего встречаются предприятия с уровнем себестоимости 126,75 тыс. руб., чаще всего выпускается продукция с уровнем затрат 126,69 тыс. руб., и чаще всего затраты на производство объясняется уровнем себестоимости в 123,73 тыс. руб.

4.7. Показатели вариации

 Вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объек-тов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.
 Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.
 Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации H как разницы между максимальным и минимальным наблюдаемы значениями признака
 .
 Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяе-мость промежуточных значений здесь не учитывается.
 Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относитель-но среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня
 .
 При повторяемости отдельных значений используют формулу средней арифме-тической взвешенной 
 .
 (Напомним, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю).
 Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. К сожалению, этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.
 Дисперсия признака определяется на основе квадратической степенной сред-ней:
  или .
 Показатель , равный , называется средним квадратическим отклонением.
 Простыми преобразованиями могут быть получены формулы расчета дисперсии методом моментов:
 ;

 .
 Здесь – среднее значение квадратов признака, или начальный момент второго порядка; – среднее значение признака, или начальный момент первого порядка.
 Величина дисперсии не зависит от начала отсчета, т. е. все индивидуальные значе-ния признака можно увеличить или уменьшить на одно и то же число А. Это свойство очевидно, ибо с увеличением или уменьшением значений признака X аналогично изменя-ется и показатель среднего уровня.
 Численное значение дисперсии зависит от масштаба измерения признака X. При увеличении (или уменьшении) всех значений признака в С раз показатель дисперсии но-вого, увеличенного (или уменьшенного) признака будет больше (или меньше) дисперсии прежнего значения признака в С2 раз, т.е. .
 Если первичные данные сгруппировать, то дисперсия признака может быть опре-делена как сумма так называют межгрупповой дисперсии – и среднего значения внутри групповых – , т.е.
 .
 Вывести эту формулу несложно, если учесть, что межгрупповая дисперсия рассчи-тывается как
 ,
где k – количество групп, на которые разбита вся совокупность; – количество объек-тов, наблюдений, включенных в группу j; – среднее значение признака по группе j; – общее среднее значение признака.
 Среднее значение внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле

 ,
где .
 Подставляя и в формулу сложения дисперсий, выходим на формулу рас-чета дисперсии методом моментов, что и подтверждает правило сложения дисперсий. Свойство сложения дисперсий используется для измерения степени взаимосвязи призна-ков. Предыдущие два свойства способствуют ускорению расчетов, если первичные дан-ные представлены в сгруппированном виде с равными интервалами. Вводя вместо преж-них значений признака X новые, полученные по формуле , убеждаемся, что
 .
 Если исходные данные представлены в форме интервального ряда распределения, т.е. по существу, первичные данные распределены по группам, то следовало бы и рас-считывать по правилу сложения дисперсий. Но обычно это сделать невозможно из-за того, что точные средние значения признака в каждом интервале неизвестны. При замене средних значений серединами интервалов получающаяся межгрупповая дисперсия оказывается несколько больше общей дисперсии ориентировочно на величину (поправка Шеппарда).
 На практике эту поправку вводят редко и подсчитываемая по данным интервального ряда распределения дисперсия считается достаточно точной оценкой и схемой общей дисперсии
 ,
где k – количество интервалов; – значение признака в середине j интервала.
 Для приведенного ранее примера получаем
 .
 Таким образом, =1,03.
Так как = 0,132, то = 52 •(1,03 – 0,0169) = 25,3275.
 Если вариация оценивается по наибольшему числу наблюдений, взятых из неогра-ниченной генеральной совокупности, то и среднее значение признака определяется с не-которой погрешностью. Рассчитывая величины дисперсии оказывается смещенной в сто-рону уменьшения. Для получения несмещенной оценки выборочную дисперсию, полу-ченную по приведенным ранее формулам, надо умножить на величину .В итоге при малом числе наблюдений (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
  или .
 Обычно уже при n > (15 ± 20) расхождение смещенной и несмещенной оценок ста-новится несущественная. По этой же причине обычно не учитывают смещенность и в формуле сложения дисперсий.
 Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию среднего значения можно и на основе всего одного выбо-рочного наблюдения по формуле
 ,
где n – объем выборки; – дисперсия признака, рассчитанная по данным выборки.
 Величина – носит название средней ошибки выборки и является характеристикой отклонения выборочного среднего значения признака X от его истинной средней величины. Показатель средней ошибки используется при оценке досто-верности результатов выборочного наблюдения
 Формулы:
 ; ;  
используются для оценки точности выборочного значения доли (удельного веса) как средней величины альтернативного признака.
 Заметим, что в указанном виде формулы средней ошибки применяются в случае выборочного наблюдения повторного типа (выборки с возвратом). Для бесповторной вы-борки (выборки без возврата) учитывается постепенное сокращение объема генеральной совокупности, а формулы приобретают вид
  и .
 Например, если при обходе 100 рабочих мест обнаруживается, что 80 из них ис-пользуется, то расчетный коэффициент использования рабочих мест равен, естественно, 80% ил 0,8. Но поскольку такую оценку можно рассматривать как случайную, то истин-ный коэффициент использования рабочих мест будет 


Информация

Комментировать статьи на нашем сайте возможно только в течении 60 дней со дня публикации.

Популярные новости

Статистика сайта



Rambler's Top100



 
Copyright © НеОфициальный сайт факультета ЭиП