Вы на НеОфициальном сайте факультета ЭиП

На нашем портале ежедневно выкладываются материалы способные помочь студентам. Курсовые, шпаргалки, ответы и еще куча всего что может понадобиться в учебе!
Главная Контакты Карта сайта
 
Где мы?
» » » Достаточное условие возрастания и убывания функции.

Реклама


Достаточное условие возрастания и убывания функции.

Просмотров: 28874 Автор: admin

1. Достаточное условие возрастания и убывания функции.

   Теорема. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. e. f' (x) ≥ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и диффе­ренцируема в промежутке (a, b), причём f' (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].

   Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f(x) возрастает на отрезке [a, b]. Придадим аргументу x при­ращение  : и рассмотрим отношение  .

   Так как f(x) — функция возрастающая, то   при   и   при  .

   В обоих случаях  , а следовательно,  , т. е. f’(x)≥0, что и требовалось доказать. (Если бы было f' (x)< 0, то при достаточно малых значениях  : отношение (1) было бы от­рицательным, что противоречит соотношению (2).)

   Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f ' (x) > 0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a, b).

   Рассмотрим два любых значения х1 и х2, х1 < х2, принадлежащих отрезку [a, b].

По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем:        

   По условию f( )>0, следовательно, f(x2)-f(x1)>0, а это и значит, что f(x) - возрастающая функция.

   Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно.

   Если f(x) убывает на отрезке [a,b], то f(x)^,0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает

 

на отрезке [a, b]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [a, b] и дифференцируема всюду на (a, b).)

3aмeчaниe. Доказанная теорема выражает следующий геометри­ческий факт. Если на отрезке [a, b] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке на этом отрезке об­разует c осью Ох оcтpый угол φ или - в отдельных точках - горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен: f’(x)=tgφ≥0 (рис. а). Если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то угол наклона касательной - тупой (или - в отдельных точках - ка­сательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен (рис. 6). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку ее производной.

2. Экстремум необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстpeмума). Если дифференци­руемая    функция    y=f(x)    имеет в точке x = х2 максимум или мини­мум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. e. f' (х2) = 0.

Доказатeльcтво. Предпо­ложим для определенности, что в точке x=x1 функция имеет максимум. Тогда при достаточно ма­лых по абсолютному значению приращениях Δx(Δx≠0) имеет место   т. е.  .

Но в таком случае знак отношения   определяется знаком  , а именно:   при  <0,    при

Согласно определению производной имеем:  .

Если f(x) имеет производную при x = x1 то предел, стоящий справа, не зависит от того, как  : стремится к нулю (оставаясь положительным или отрицательным).

Но если  0, оставаясь отрицательным, то  .

 Если же  0, оставаясь положительным, то  .

Так как f'(x1) есть определенное число, не зависящее от способа стремления   к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если  .

   Аналогичным образом теорема доказывается и для  случая  мини­мума функции.

   Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция f(x) имеет производную, то касательная к кривой y=f(x) в этих точках параллельна оси Ох. Действительно, из того, что f’(x1)=tgφ=0, где φ - угол между касательной и осью Ох, следует, что φ = 0 (рис.).
 
 
85_-f.zip [359,65 Kb] (cкачиваний: 413)
 

Аватар пользователя

дудындпа написал:

Комментарий №1 - 19 декабря 2008 21:03 Гости
спасибо большее!!!!

Информация

Комментировать статьи на нашем сайте возможно только в течении 60 дней со дня публикации.

Популярные новости

Статистика сайта



Rambler's Top100



 
Copyright © НеОфициальный сайт факультета ЭиП