Вы на НеОфициальном сайте факультета ЭиП

На нашем портале ежедневно выкладываются материалы способные помочь студентам. Курсовые, шпаргалки, ответы и еще куча всего что может понадобиться в учебе!
Главная Контакты Карта сайта
 
Где мы?

Реклама


Элементы общей алгебры

Просмотров: 4944 Автор: Angel
1.4 Элементы общей алгебры

Функции, область определения и область значения которых принадлежит одному множеству, называют операцией, т.е. fi: X?X или fi: Xn?X.

Множество X вместе c заданным множеством операций F={f1, f2, ..} называют алгеброй, т.е.
A=,
где X={x1, x2,..xm} носитель алгебры;
S={f1, f2,.. } cигнатура алгебры, содержащая унарные и бинарные операции.

Бинарные операции обладают свойствами:

коммутативности xifkxj=xjfkxi, т.е. операнды можно менять местами,

ассоциативности xifk(xjfkxk)=(xjfkxj)fkxk, т. е при исполнении одной операции fk скобки можно не расставлять, а операцию исполнять в любом порядке,

дистрибутивности xifk(xjfmxk)=(xifkxj)fm(xifkxk), т. е. при исполнении двух различных операций fk и fm первая операция fk исполняется с каждым операндом второй операции fm, а вторая операция fm с результатами исполнения первой операции fk,

идемпотентности – xifkxi=xi, т.е. результатом исполнения бинарной операции над одним операндом будет значение операнда,

поглощения – xifk(xifmxj)=xi, т. е. при исполнении двух различных бинарных операций fk и fm, но содержащих один общий операнд xi, результатом их исполнения будет значение операнда xi.

 Совокупность алгебры и отношений R={r1, r2,..} называют алгебраической системой, т.е. Aсист.=.

Например, если даны отношения ?(xi, xi) или ?(Xi, Xj), т.е. задан частичный порядок на множестве X, то A= и A= есть алгебраические системы.

Если элементы множества, упорядоченного отношением ?(xi, xi), принимают значения только на множестве {0, 1}, то операции поиска верхней и нижней граней на таком множестве формируют булеву алгебру. 

Тогда Sup X=(xi?xj) есть операции дизъюнкции – “?”, а Inf X=(xi?xj) есть операции конъюнкции конъюнкции – “?”.Поиск дополнения значения элемента xi на множестве {0, 1} есть унарная операция –отрицание ?xi.

Дизъюнкция (x1?x2) есть бинарная операция, значение которой равно 0 в том и только в том случае, когда оба операнда имеют значение 0.  
Префиксная схема этой операции имеет вид: f(xi, xj)=disjunct(хi, хj). Операцию дизъюнкции можно распространить на произвольное число элементов множества X. 


Например, 
f(х1, х2,..хn)=(х1?х2?...?хn)=i=1?nхi.

 Конъюнкция (x1?x2) есть бинарная операция, значение которой равно 1 в том и только в том случае, когда оба операнда имеют значение 1. 

Префиксная схема этой операции имеет вид: f(xi, xj)=conjunct(х1, х2).

Операцию конъюнкции можно распространить на произвольное число элементов множества.


Например, f(х1, х2, ..хn)=(х1?х2?..?хn)= i=1?nхi, где i=1?n символ конъюнкции
 для 1?i ?n.

Отрицание ?x есть унарная операция, значение которой противоположно значению операнда. 

x f(x)=?x
0 1
1 0
Префиксная схема этой операции имеет вид: f(x)=not(x).

Операцию отрицания можно распространить на произвольные формулы булевой алгебры.  


Например, Fi=(х1?х2?...?хn) или Fj=(х1?х2?...?xn). 

Операции поиска верхней и нижней граней на множествах, упорядоченных отношением ?(Xi;Xj), есть операции объединения ? и пересечения ?, т. е. Sup X=(Xi?Xj) и Inf X=(Xi?Xj). 

Поиск элементов множества Xj, не принадлежащих множеству Xi, есть унарная операция – дополнение ?Xi, т. е. ?Xi={x| x?Xi и x?Xj}.



Информация

Комментировать статьи на нашем сайте возможно только в течении 60 дней со дня публикации.

Популярные новости

Статистика сайта



Rambler's Top100



 
Copyright © НеОфициальный сайт факультета ЭиП